封面：空堀日奈（《蔚蓝档案》）

【资料图】

5. 已知，且，且为的倍数，则整数对的个数为

A. 2898

B. 3793

C. 4686

D. 5133

答案  B

解析  

由于，所以.

而，，所以.

所以.

由于，所以.

(1) 若，均符合题意，得到1897个符合题意的.

(2) 若，

由于，所以.

即

当时，上式即，即，得到2个符合题意的.

当时，，所以

得到1894个符合题意的.

综上，整数对的个数为

故选：B.

6. 四边形外切于圆，过的直线交于，且，，则___________.

答案  6

解析  

连结，.

即.

由于，所以.

所以，即.

同理.

所以.

由正弦定理

所以.

所以.

7. 已知正整数满足：对任意等差数列，若为有理数，则数列中至少有一个有理数，则可以为

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

答案  C

解析  

设，则.

所以

为有理数，等价于.

若，则，所以.

则数列中至少有一个有理数，所以符合题意.

若，存在无理数和无理数使得.

此时，由于为非零的有理数，所以

则此时中不存在有理数，所以不符合题意.

综上，.

选项中A、B、D均不符合题意，C符合题意.

故选：C.

8. 已知正边形顶点中任取3点，构成钝角三角形的概率为，则的所有可能值的和为___________.

答案  503

解析

(1) 若，设各顶点为.

先取为该三角形的钝角顶点，则直径将圆分成两部分.

则该三角形的另外2个顶点分别位于这两个部分.

若其中一个顶点为，则另一个顶点为.

所以任取3点构成的钝角三角形的总数为

任取3点构成三角形的总数为

任取3点构成的钝角三角形的概率为

得，符合题意.

(2) 若，设各顶点为.

先取为该三角形的钝角顶点，则过直径的将圆分成两部分.

则该三角形的另外2个顶点分别位于这两个部分.

若其中一个顶点为，则另一个顶点为.

所以任取3点构成的钝角三角形的总数为

任取3点构成三角形的总数为

任取3点构成的钝角三角形的概率为

得，符合题意.

综上，的所有可能值有376和127，它们的和为503.

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